Logaritmus

Rozbalit box

Obsah boxu

Logaritmus je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. Jinými slovy, logaritmus čísla x o základu b je exponent, na který je třeba umocnit základ b, aby byl výsledkem x. Zapisuje se jako log_b(x).

Například logaritmus čísla 1000 o základu 10 je 3, protože 10 umocněno na třetí (10³) je 1000. Matematicky zapsáno: log₁₀(1000) = 3.

Logaritmy byly zavedeny na počátku 17. století Johnem Napierem a nezávisle na něm Jostem Bürgim jako prostředek pro zjednodušení složitých výpočtů. Rychle se staly nepostradatelným nástrojem pro vědce, inženýry, navigátory a další profese, protože umožňovaly převést složité operace násobení a dělení na mnohem jednodušší sčítání a odčítání.

📜 Historie

Koncept logaritmů se objevil na přelomu 16. a 17. století jako odpověď na rostoucí potřebu zjednodušit složité a časově náročné výpočty, zejména v astronomii, navigaci a geodézii.

🏛️ Vynálezci

Hlavní zásluhu na vynálezu logaritmů má skotský matematik a teolog John Napier (1550–1617). V roce 1614 publikoval své dílo Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis podivuhodného pravidla logaritmů), které obsahovalo první logaritmické tabulky. Napierova metoda byla založena na porovnání aritmetické a geometrické posloupnosti a jeho původní logaritmy se mírně lišily od těch, které se používají dnes.

Téměř současně, ale nezávisle na Napierovi, vyvinul podobný systém švýcarský hodinář a matematik Jost Bürgi (1552–1632). Své výsledky však publikoval až v roce 1620, a proto je prvenství často připisováno Napierovi.

⚙️ Vylepšení a rozšíření

Anglický matematik Henry Briggs (1561–1630) byl Napierovou prací nadšen. Po setkání s Napierem navrhl úpravu, která vedla ke vzniku tzv. dekadických (Briggsových) logaritmů o základu 10. Tyto logaritmy byly pro praktické výpočty mnohem vhodnější, protože základ 10 odpovídá desítkové číselné soustavě. Briggs sestavil rozsáhlé a přesné tabulky těchto logaritmů.

Další významný pokrok přinesl Leonhard Euler v 18. století, který propojil logaritmy s exponenciální funkcí a zavedl koncept přirozeného logaritmu se základem e (Eulerovo číslo). Euler také definoval logaritmy pro komplexní čísla.

Před nástupem kalkulaček a počítačů byly logaritmické tabulky a logaritmické pravítko (vynalezené kolem roku 1620) klíčovými výpočetními pomůckami po více než 300 let.

⚙️ Definice a vlastnosti

Logaritmus je definován vztahem:

\log_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x

Kde:

b je základ logaritmu. Musí být kladné reálné číslo různé od 1 (b > 0, b ≠ 1).
x je argument (nebo logaritmand). Musí být kladné reálné číslo (x > 0).
y je logaritmus čísla x o základu b. Může to být jakékoliv reálné číslo.

📝 Základní vlastnosti a pravidla

Pro logaritmy platí několik klíčových pravidel, která vyplývají z pravidel pro počítání s mocninami. Tato pravidla umožňovala historické zjednodušení výpočtů.

Logaritmus součinu: Logaritmus součinu dvou čísel je roven součtu jejich logaritmů.

\log_{b} (x \cdot y) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y)

Logaritmus podílu: Logaritmus podílu dvou čísel je roven rozdílu jejich logaritmů.

\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y)

Logaritmus mocniny: Logaritmus mocniny je roven exponentu násobenému logaritmem základu mocniny.

\log_{b} (x^{p}) = p \cdot \log_{b} (x)

Logaritmus odmocniny: Toto je speciální případ logaritmu mocniny, kde odmocninu lze zapsat jako mocninu s lomeným exponentem.

\log_{b} (\sqrt[p]{x}) = \log_{b} (x^{1 / p}) = \frac{1}{p} \cdot \log_{b} (x)

🔢 Speciální hodnoty

Z definice logaritmu vyplývají některé speciální hodnoty:

$\log_{b} (1) = 0$ , protože $b^{0} = 1$ pro jakýkoliv základ b.
$\log_{b} (b) = 1$ , protože $b^{1} = b$ pro jakýkoliv základ b.

🔄 Změna základu

Pro převod logaritmu z jednoho základu na jiný se používá následující vzorec. To je obzvláště užitečné, protože většina kalkulaček má funkce pouze pro dekadický a přirozený logaritmus.

\log_{b} (x) = \frac{\log_{c} (x)}{\log_{c} (b)}

Kde c je nový, libovolně zvolený základ (obvykle 10 nebo e).

💡 Typy logaritmů

Podle použitého základu rozlišujeme několik speciálních typů logaritmů, které mají široké uplatnění.

Přirozený logaritmus (ln)

Základ: Eulerovo číslo e (přibližně 2,71828).
Značení: ln(x) nebo log_e(x).
Význam: Přirozený logaritmus je klíčový v matematické analýze, zejména v diferenciálním a integrálním počtu. Jeho derivace je jednoduchá funkce 1/x. Popisuje procesy spojitého růstu nebo poklesu, jako je složené úročení s okamžitým připisováním úroků, radioaktivní rozpad nebo růst populací.

Dekadický logaritmus (log)

Základ: 10.
Značení: log(x) nebo log₁₀(x).
Význam: Byl historicky nejdůležitější pro ruční výpočty kvůli své vazbě na desítkovou soustavu. Celá část dekadického logaritmu (charakteristika) udává řád čísla (počet číslic před desetinnou čárkou minus jedna). Je základem pro mnoho logaritmických stupnic, jako je pH nebo Richterova stupnice.

Binární logaritmus (log₂)

Základ: 2.
Značení: log₂(x) nebo někdy lb(x).
Význam: Má zásadní význam v informatice, teorii informace a teorii algoritmů. Počet bitů potřebných k reprezentaci N různých stavů je log₂(N). Mnoho algoritmů, které pracují na principu "půlení" (např. binární vyhledávání), má logaritmickou časovou složitost.

🌍 Aplikace

Logaritmy nejsou jen abstraktním matematickým konceptem, ale mají široké praktické využití v mnoha oborech.

Chemie: Stupnice pH pro měření kyselosti nebo zásaditosti roztoků je definována jako záporný dekadický logaritmus koncentrace vodíkových iontů: $pH = - \log_{10} [H^{+}]$ .
Fyzika:

   * Decibel (dB): Jednotka pro měření intenzity zvuku nebo poměru výkonu je logaritmická. Zvýšení o 10 dB znamená desetinásobný nárůst intenzity.
   * Termodynamika: Entropie je definována pomocí logaritmů.

Seismologie: Richterova stupnice pro měření síly zemětřesení je logaritmická. Zemětřesení o síle 6 je 10krát silnější (co do amplitudy vln) než zemětřesení o síle 5 a uvolní přibližně 32krát více energie.
Astronomie: Hvězdná velikost (magnituda) je logaritmická míra jasnosti hvězd. Jasnější hvězdy mají nižší magnitudu.
Informatika: Časová složitost algoritmů se často vyjadřuje pomocí logaritmů. Algoritmy se složitostí O(log n) jsou velmi efektivní, protože doba jejich běhu roste jen velmi pomalu s rostoucím počtem vstupních dat.
Hudba: Vnímání výšky tónu je logaritmické. Každá oktáva představuje zdvojnásobení frekvence, ale vnímáme ji jako stejný hudební interval. Stupnice na hmatníku kytary je logaritmická.
Finance: Používají se při výpočtech složeného úročení a pro analýzu růstu investic.
Statistika: Logaritmické stupnice se používají v grafech pro zobrazení dat s velkým rozsahem hodnot, aby byly viditelné změny jak u malých, tak u velkých čísel.

🤔 Pro laiky

Představte si logaritmus jako odpověď na otázku: "Kolikrát musím mezi sebou vynásobit základ, abych dostal požadované číslo?"

Vezměme si nejběžnější, dekadický logaritmus, který má základ 10.

Chceme zjistit logaritmus čísla 100. Ptáme se: "Kolikrát musím vynásobit desítku, abych dostal 100?" Odpověď je dvakrát (10 × 10 = 100). Takže log(100) = 2.
Chceme logaritmus čísla 1000. Ptáme se: "Kolikrát musím vynásobit desítku, abych dostal 1000?" Odpověď je třikrát (10 × 10 × 10 = 1000). Takže log(1000) = 3.

Hlavní kouzlo logaritmů spočívá v tom, že převádějí násobení na sčítání. Dříve, než existovaly kalkulačky, bylo násobení velkých čísel (např. 5 834 × 9 217) velmi pracné. S logaritmy stačilo najít v tabulkách log(5834) a log(9217), tato dvě čísla sečíst a pak v tabulkách najít, kterému číslu tento součet odpovídá. Sčítání je mnohem jednodušší a rychlejší než násobení.

Dobrým příkladem z reálného světa je Richterova stupnice pro zemětřesení. Není to obyčejná stupnice, kde "stupeň 6" je jen o trochu horší než "stupeň 5". Protože je logaritmická, je zemětřesení o stupni 6 ve skutečnosti desetkrát silnější než to o stupni 5. A zemětřesení o stupni 7 je stokrát silnější než to o stupni 5. Logaritmy nám pomáhají uchopit a porovnávat věci, které se liší o mnoho řádů.

⏰ Tento článek je aktuální k datu 29.12.2025