Pierre de Fermat

Rozbalit box

Obsah boxu

Pierre de Fermat (* mezi 31. říjnem a 6. prosincem 1607, Beaumont-de-Lomagne – † 12. ledna 1665, Castres) byl francouzský právník a matematik. Ačkoliv byl z hlediska profese právníkem a matematice se věnoval pouze ve svém volném čase, je považován za jednoho z největších matematiků 17. století a zakladatele moderní teorie čísel. Společně s Reném Descartem je také jedním z otců analytické geometrie a s Blaisem Pascalem položil základy teorie pravděpodobnosti. Proslul především formulací Velké Fermatovy věty, která se stala jedním z nejslavnějších problémů v historii matematiky a byla dokázána až v roce 1994.

📜 Život

👶 Mládí a vzdělání

Pierre de Fermat se narodil v Beaumont-de-Lomagne v jihozápadní Francii. Jeho otec, Dominique Fermat, byl bohatý obchodník s kůžemi a jeden z konzulů města. Jeho matkou byla Claire de Long. Přesné datum jeho narození je předmětem sporů, ale často se uvádí rok 1607.

O jeho raném vzdělání se ví málo, ale pravděpodobně studoval na františkánském klášteře v Grandselve. Později navštěvoval univerzitu v Toulouse a následně se přestěhoval do Bordeaux, kde začal své první vážné matematické výzkumy. V roce 1631 získal titul z civilního práva na univerzitě v Orléansu.

🏛️ Kariéra právníka

Po dokončení studií si Fermat koupil úřad rádce u nejvyššího soudu (Parlement) v Toulouse. Díky této pozici získal právo používat šlechtický přídomek "de" a změnil si jméno z Pierre Fermat na Pierre de Fermat. Jeho kariéra právníka byla stabilní a úspěšná, postupně stoupal v hierarchii a v roce 1652 byl jmenován do nejvyššího trestního soudu.

Matematika pro něj byla po celý život pouze koníčkem, a proto je často nazýván "Knížetem amatérů" (Princeps mathematicorum丹丹). Své výsledky a myšlenky zřídka publikoval v ucelené formě. Místo toho je sdílel v korespondenci s přáteli a dalšími matematiky, jako byli Marin Mersenne, Blaise Pascal nebo René Descartes.

✉️ Matematik v korespondenci

Fermatův způsob práce byl neobvyklý. Své geniální nápady si často zapisoval jen jako poznámky na okraj knih, které četl, nebo je zahrnoval do dopisů bez formálních důkazů. Tvrdil, že důkazy má, ale že jsou příliš dlouhé na to, aby je zapsal. To vedlo k tomu, že mnoho jeho tvrzení museli dokazovat až matematici v následujících staletích. Jeho neochota publikovat vedla také k některým sporům o prvenství, nejznámější je jeho spor s Descartem o základy analytické geometrie.

Zemřel 12. ledna 1665 v Castres, dva dny po dokončení svého posledního soudního případu.

🧠 Matematické dílo

Fermat významně přispěl do několika oblastí matematiky a fyziky. Jeho práce položila základy pro pozdější objevy Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize.

🔢 Teorie čísel

Teorie čísel byla Fermatovou největší vášní a oblastí, kde zanechal nejhlubší stopu. Je právem považován za jejího zakladatele v moderním pojetí.

Velká Fermatova věta

Nejslavnějším Fermatovým tvrzením je bezpochyby Velká Fermatova věta. Při čtení knihy Arithmetica od antického matematika Diofanta si na okraj stránky k problému rozkladu čtverce na součet dvou čtverců (viz Pythagorova věta) poznamenal:

"Není možné rozložit krychli na součet dvou krychlí, čtvrtou mocninu na součet dvou čtvrtých mocnin a obecně žádnou mocninu vyšší než druhou na součet dvou stejných mocnin. Nalezl jsem vskutku podivuhodný důkaz, avšak na tomto okraji není dost místa, aby se sem vešel."

Matematicky řečeno, rovnice $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ nemá žádné řešení v oboru celých kladných čísel pro $n > 2$ . Tento problém, známý také jako Fermatův poslední teorém, odolával snahám matematiků po 358 let. Stal se Svatým grálem matematiky a jeho řešení bylo nalezeno až v roce 1994 britským matematikem Andrewem Wilesem za použití nejmodernějších nástrojů teorie eliptických křivek a modulárních forem.

Malá Fermatova věta a další objevy

Fermat je autorem mnoha dalších klíčových vět v teorii čísel:

Malá Fermatova věta: Uvádí, že pokud je p prvočíslo, pak pro jakékoliv celé číslo a, které není násobkem p, platí, že $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ . Tato věta je základním kamenem moderní kryptografie, zejména RSA šifrování.
Fermatova věta o součtu dvou čtverců: Liché prvočíslo p lze vyjádřit jako součet dvou čtverců právě tehdy, když p dává zbytek 1 po dělení 4.
Fermatovo číslo: Čísla ve tvaru $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ . Fermat se domníval, že všechna tato čísla jsou prvočísla, což platí pro n=0, 1, 2, 3, 4. Leonhard Euler však v roce 1732 ukázal, že $F_{5}$ je číslo složené.

📈 Analytická geometrie a základy kalkulu

Nezávisle na Reném Descartovi a přibližně ve stejné době vyvinul Fermat vlastní verzi analytické geometrie. Jeho práce Ad locos planos et solidos isagoge (Úvod do rovinných a prostorových křivek) kolovala v rukopisech již před rokem 1637, tedy dříve, než Descartes publikoval svou slavnou La Géométrie.

Fermat také vyvinul metodu pro nalezení maxim a minim funkcí a tečen ke křivkám, která je přímým předchůdcem diferenciálního počtu. Jeho "metoda adekvality" (method of adequality) byla velmi podobná pozdějšímu derivování.

🎲 Teorie pravděpodobnosti

V roce 1654 si Fermat dopisoval s Blaisem Pascalem o problému rozdělení sázek v nedokončené hazardní hře (tzv. "problém bodů"). Jejich korespondence je považována za zrod teorie pravděpodobnosti jako matematické disciplíny. Společně dospěli k základním principům, jak vypočítat očekávané hodnoty a pravděpodobnosti výsledků.

💡 Optika a Fermatův princip

Ve fyzice je Fermat známý pro svůj Fermatův princip (neboli princip nejkratšího času). Tento princip říká, že světlo se mezi dvěma body šíří po takové dráze, kterou urazí za nejkratší možný čas. Z tohoto jediného principu lze odvodit zákony odrazu a lomu světla (Snellův zákon). Tento princip se stal jedním z nejzákladnějších variačních principů ve fyzice.

💬 Spory a vztahy s ostatními vědci

Fermatův styl práce a neochota publikovat vedly k několika konfliktům. Nejznámější je jeho spor s Reném Descartem. Descartes zpočátku odmítal Fermatovu metodu pro nalezení tečen a jejich spor byl plný osobních útoků. Ačkoliv se později usmířili, jejich rivalita přetrvala. Fermat také kritizoval některé Descartovy práce v oblasti optiky.

Naopak jeho vztah s Blaisem Pascalem byl velmi produktivní a přátelský, jak dokládá jejich společná práce na základech teorie pravděpodobnosti.

🏛️ Odkaz a význam

Pierre de Fermat je jednou z klíčových postav vědecké revoluce 17. století. Ačkoliv byl "pouze" amatér, jeho příspěvky k matematice jsou srovnatelné s největšími profesionálními matematiky jeho doby.

Jeho práce v teorii čísel inspirovala generace matematiků, včetně Eulera a Gausse.
Jeho Velká Fermatova věta se stala legendou a její řešení posunulo hranice matematiky.
Položil základy pro diferenciální a integrální počet, analytickou geometrii a teorii pravděpodobnosti.
Fermatův princip zůstává jedním z nejelegantnějších a nejmocnějších principů v celé fyzice.

Jeho odkaz spočívá nejen v jeho objevech, ale také v jeho schopnosti klást hluboké a zdánlivě jednoduché otázky, jejichž řešení vyžadovalo staletí práce a vývoj zcela nových matematických oborů.

🤓 Pro laiky: Velká Fermatova věta

Představte si Pythagorovu větu, kterou znáte ze školy: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Tato rovnice popisuje vztah stran v pravoúhlém trojúhelníku. Existuje nekonečně mnoho celých čísel, která tuto rovnici splňují (například 3, 4, 5, protože $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$ ).

Pierre de Fermat se zamyslel, co by se stalo, kdybychom mocninu "na druhou" změnili na "na třetí", "na čtvrtou" nebo jakoukoliv vyšší. Zkusil tedy rovnici $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ . A zjistil, že pro ni žádná celá kladná čísla neexistují. Zkusil to pro mocninu "na čtvrtou" ( $a^{4} + b^{4} = c^{4}$ ) a opět nic.

Jeho slavná věta říká, že pro jakékoliv celé číslo n větší než 2, rovnice $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ prostě nemá řešení v kladných celých číslech. Je to, jako byste měli stavebnici, kde můžete postavit čtverec ze dvou menších čtverců, ale nikdy nemůžete postavit krychli ze dvou menších krychlí (pokud mají mít kostky celočíselné délky hran).

Fermat tvrdil, že na to má důkaz, ale nikdy ho nenapsal. To trápilo matematiky přes 350 let. Problém vypadal jednoduše, ale jeho důkaz byl neuvěřitelně obtížný a vyžadoval matematiku, která v době Fermata vůbec neexistovala.

Šablona:Aktualizováno