Derivace

Rozbalit box

Obsah boxu

Derivace je základní pojem matematické analýzy, konkrétně diferenciálního počtu. Popisuje, jak se mění hodnota funkce, pokud se nepatrně změní její vstupní proměnná. Geometricky představuje derivace funkce v daném bodě směrnici tečny ke grafu této funkce v tomto bodě. Fyzikálně může derivace popisovat například okamžitou rychlost pohybujícího se tělesa, pokud je jeho poloha popsána jako funkce času. Proces nalezení derivace se nazývá derivování nebo diferenciace. Opačným procesem k derivování je integrace.

Koncept derivace byl nezávisle na sobě vyvinut v 17. století Isaacem Newtonem a Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem, což vedlo k jednomu z nejznámějších sporů o prvenství v historii vědy. Jejich práce položila základy moderní matematické analýzy.

📜 Historie

Myšlenky vedoucí k derivaci a integrálu se objevovaly již ve starověkém Řecku. Archimédés použil metodu vyčerpání (exhaustivní metodu) k výpočtu ploch a objemů, což je předchůdce integrálního počtu. Problém nalezení tečny ke křivce, který je jádrem diferenciálního počtu, zkoumal například Apollónios z Pergy.

Moderní základy diferenciálního počtu však byly položeny až v 17. století. Pierre de Fermat vyvinul metodu pro nalezení maxim a minim funkcí, která se velmi blížila použití derivace. Isaac Barrow, učitel Isaaca Newtona, prokázal základní větu kalkulu, která spojuje derivaci a integrál.

Vrcholem tohoto vývoje byla práce dvou velikánů:

Isaac Newton (Anglie): Vyvinul svůj "kalkulus fluxí" mezi lety 1665 a 1667. Chápal proměnné jako veličiny měnící se v čase ("fluenty") a jejich derivace jako rychlosti těchto změn ("fluxe"). Své výsledky však publikoval mnohem později.
Gottfried Wilhelm Leibniz (Německo): Vyvinul svůj kalkulus nezávisle kolem roku 1675 a publikoval jej v roce 1684. Zavedl značení, které se z velké části používá dodnes (např. $\frac{d y}{d x}$ pro derivaci a $\int$ pro integrál).

Mezi oběma matematiky a jejich příznivci propukl hořký spor o prvenství, který poškodil britskou matematickou komunitu na téměř celé století. Dnes je uznáváno, že oba objevili kalkulus nezávisle na sobě. Formálně přesnou definici derivace pomocí limity zavedl až v 19. století Augustin Louis Cauchy.

📐 Geometrický význam

Nejintuitivnější pochopení derivace poskytuje její geometrická interpretace. Mějme graf spojité funkce f(x). Chceme-li zjistit "strmost" grafu v určitém bodě A = [x₀, f(x₀)], můžeme postupovat následovně:

1. Zvolíme druhý, blízký bod na grafu, B = [x₀ + h, f(x₀ + h)], kde h je malé číslo. 2. Body A a B proložíme přímku, které se říká sečna. Její směrnice (tangens úhlu, který svírá s osou x) je dána vztahem:

    $k_{s e c n a} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{(x_{0} + h) - x_{0}} = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

3. Nyní začneme bod B přibližovat k bodu A. Toho dosáhneme tak, že zmenšujeme hodnotu h, tedy posíláme h k nule. 4. Pokud se při tomto přibližování směrnice sečny blíží k nějaké konečné hodnotě, pak se sečna "překlápí" do polohy tečny ke grafu funkce v bodě A. 5. Hodnota, ke které se směrnice sečny blíží, je derivace funkce f v bodě x₀.

Derivace funkce v bodě je tedy rovna směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě.

Pokud je derivace kladná, funkce v daném bodě roste.
Pokud je derivace záporná, funkce v daném bodě klesá.
Pokud je derivace nulová, tečna je vodorovná a v bodě se může nacházet lokální extrém (maximum nebo minimum).

🏃 Fyzikální význam

Ve fyzice a dalších přírodních vědách derivace představuje okamžitou rychlost změny. Nejčastějším příkladem je mechanický pohyb.

Mějme funkci $s (t)$ , která popisuje polohu (dráhu) tělesa v závislosti na čase $t$ .
Průměrná rychlost mezi dvěma časy $t_{1}$ a $t_{2}$ je $v_{p r u m} = \frac{s (t_{2}) - s (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$ .
Pokud chceme znát okamžitou rychlost v čase $t$ , musíme časový interval $t_{2} - t_{1}$ zkracovat k nule. To je přesně proces výpočtu derivace.
Okamžitá rychlost $v (t)$ je tedy první derivací dráhy podle času:

    $v (t) = s^{'} (t) = \frac{d s}{d t}$

Podobně, okamžité zrychlení $a (t)$ je definováno jako rychlost změny rychlosti. Je to tedy první derivace rychlosti podle času, a zároveň druhá derivace dráhy podle času:

    $a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} s}{d t^{2}}$

Tento princip platí obecně: derivace jakékoliv fyzikální veličiny podle času udává okamžitou rychlost její změny. Například derivace elektrického náboje podle času je elektrický proud.

⚙️ Formální definice

Derivace funkce $f$ v bodě $x_{0}$ jejího definičního oboru je definována jako limita:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Pokud tato limita existuje a je konečná, říkáme, že funkce $f$ je v bodě $x_{0}$ diferencovatelná. Funkce, která má derivaci v každém bodě nějakého intervalu, se nazývá diferencovatelná na tomto intervalu.

Nutnou (ale ne postačující) podmínkou pro existenci derivace v bodě je spojitost funkce v tomto bodě. Tedy, má-li funkce v bodě derivaci, je v něm i spojitá. Opačně to však neplatí (např. funkce $y = | x |$ je v bodě 0 spojitá, ale nemá tam derivaci).

✍️ Značení

Pro derivaci se v průběhu historie vyvinulo několik různých způsobů značení, které se používají v závislosti na kontextu:

Lagrangeova notace: Zavedl ji Joseph-Louis Lagrange. Derivace se značí čárkou u symbolu funkce: $f^{'} (x), g^{'} (x)$ . Pro vyšší derivace se počet čárek zvyšuje: $f^{″} (x), f^{‴} (x)$ . Pro ještě vyšší řády se používá horní index v závorce: $f^{(4)} (x), f^{(n)} (x)$ . Toto značení je nejběžnější v úvodních kurzech matematiky.

Leibnizova notace: Zavedl ji Gottfried Wilhelm Leibniz. Derivace funkce $y = f (x)$ se značí jako podíl dvou diferenciálů:

    $\frac{d y}{d x}, \frac{d f}{d x} (x), nebo \frac{d}{d x} f (x)$ 
   Toto značení je výhodné zejména při práci s diferenciálními rovnicemi a v integrálním počtu (např. při substituci). Druhá derivace se značí  $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ .

Newtonova notace: Zavedl ji Isaac Newton a používá se především ve fyzice pro derivace podle času. Nad symbolem funkce se píše tečka:

    $\dot{y}$  pro první derivaci podle času,  $\ddot{y}$  pro druhou derivaci (zrychlení).

Eulerova notace: Používá operátor $D$ .

    $D f (x)$  pro první derivaci,  $D^{2} f (x)$  pro druhou derivaci.

🧮 Pravidla pro derivování

Pro praktický výpočet derivací není nutné vždy používat definici pomocí limity. Existuje řada pravidel a vzorců pro derivování základních funkcí. Nechť $f$ a $g$ jsou diferencovatelné funkce a $c$ je konstanta.

Derivace konstanty:

    $(c)^{'} = 0$

Derivace konstantního násobku:

    $(c \cdot f (x))^{'} = c \cdot f^{'} (x)$

Derivace součtu a rozdílu:

    $(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$

Derivace součinu (Produktové pravidlo):

    $(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

Derivace podílu (Podílové pravidlo):

    $(\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$  (za předpokladu, že  $g (x) \neq 0$ )

Derivace složené funkce (Řetězové pravidlo):

    $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Derivace elementárních funkcí

Základní vzorce pro derivování
Funkce $f (x)$	Derivace $f^{'} (x)$
$x^{n}$ (mocninná funkce)	$n \cdot x^{n - 1}$
$e^{x}$ (exponenciální funkce)	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} \cdot \ln a$
$\ln x$ (přirozený logaritmus)	$\frac{1}{x}$
$\log_{a} x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$ (sinus)	$\cos x$
$\cos x$ (kosinus)	$- \sin x$
$\tan x$ (tangens)	$\frac{1}{\cos^{2} x}$
$\cot x$ (kotangens)	$- \frac{1}{\sin^{2} x}$

📈 Aplikace derivací

Derivace mají široké uplatnění v mnoha oblastech matematiky, vědy a techniky.

Vyšetřování průběhu funkce: Pomocí první derivace lze určit intervaly, na kterých funkce roste nebo klesá, a najít její lokální extrémy (maxima a minima). Body, kde je první derivace nulová, se nazývají stacionární body.
Konvexnost a konkávnost: Druhá derivace informuje o "zakřivení" grafu. Kde je $f^{″} (x) > 0$ , je funkce konvexní (tvar "dolíku"). Kde je $f^{″} (x) < 0$ , je funkce konkávní (tvar "kopečku"). Body, kde se konvexnost mění na konkávnost, se nazývají inflexní body.
Optimalizační úlohy: V praxi se často hledá optimální řešení – například maximální zisk, minimální náklady, maximální objem atd. Tyto úlohy vedou na nalezení extrémů funkcí pomocí derivací.
Aproximace funkcí: Derivace jsou základem pro Taylorův polynom, který umožňuje aproximovat složité funkce v okolí daného bodu pomocí jednodušších polynomů.
L'Hospitalovo pravidlo: Používá se pro výpočet limit typu $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ .
Numerické metody: Například Newtonova metoda pro nalezení kořenů rovnice využívá tečny (a tedy derivace) k postupnému zpřesňování odhadu řešení.
Ekonomie: V ekonomii se používají pojmy jako marginální (mezní) náklady nebo marginální příjem, které jsou definovány jako derivace celkových nákladů, resp. celkového příjmu.

⏫ Derivace vyšších řádů

Derivací funkce získáme opět funkci, kterou můžeme dále derivovat. Tímto postupem získáváme derivace vyšších řádů.

První derivace: $f^{'} (x)$
Druhá derivace: $f^{″} (x) = (f^{'} (x))^{'}$
Třetí derivace: $f^{‴} (x) = (f^{″} (x))^{'}$
n-tá derivace: $f^{(n)} (x)$

Jak bylo zmíněno, ve fyzice druhá derivace polohy podle času představuje zrychlení, třetí derivace se nazývá ryv (jerk) a popisuje změnu zrychlení.

🌐 Zobecnění

Pojem derivace lze zobecnit pro složitější matematické objekty:

Parciální derivace: Pro funkce více proměnných (např. $f (x, y)$ ) se zavádí parciální derivace, která zkoumá změnu funkce pouze v jednom směru (při zachování ostatních proměnných konstantních). Značí se $\frac{\partial f}{\partial x}$ .
Směrová derivace: Zobecňuje parciální derivaci na libovolný směr v prostoru.
Totální diferenciál: Představuje nejlepší lineární aproximaci funkce více proměnných v okolí daného bodu.
Derivace v komplexní analýze: Derivace funkcí komplexní proměnné má mnohem silnější vlastnosti než v reálném oboru. Existence první derivace (holomorfnost) implikuje existenci derivací všech řádů.

🧠 Pro laiky

Představte si, že jedete autem po kopcovité krajině. Vaše cesta je grafem funkce, kde vodorovná osa představuje ujetou vzdálenost a svislá osa nadmořskou výšku.

Hodnota funkce v daném místě je vaše aktuální nadmořská výška.
Derivace funkce v tomto místě odpovídá strmosti silnice přesně pod vašimi koly.

   *   Když jedete do prudkého kopce, derivace je velká a kladná.
   *   Když jedete po rovině, derivace je nulová.
   *   Když jedete ze strmého kopce, derivace je velká a záporná.

Jiný příklad je tachometr v autě.

Dráha ujetá od startu je funkce času.
Průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovým časem.
Okamžitá rychlost, kterou ukazuje tachometr, je derivace dráhy podle času. Neříká, jak rychle jste jeli v průměru, ale jak rychle jedete přesně v tomto okamžiku.

Derivace je tedy matematický nástroj, který nám umožňuje přesně změřit a popsat okamžitou změnu jakékoliv veličiny, která se v čase nebo prostoru mění.

Šablona:Aktualizováno