Zobrazení zdroje stránky Přirozené číslo

{{K rozšíření}}
{{Infobox - matematický pojem
| název = Přirozené číslo
| obrázek = 
| popisek = 
| symbol = '''ℕ''', N
| obor = [[Teorie čísel]], [[Teorie množin]], [[Aritmetika]]
| definice = Množina kladných [[celé číslo|celých čísel]] {1, 2, 3, ...}, případně včetně [[nula|nuly]] {0, 1, 2, 3, ...}
| příklady = 1, 2, 3, 4, 5, 42, 1000
| vlastnosti = [[Uspořádaná množina|Dobře uspořádaná množina]], [[nekonečná množina|spočetně nekonečná]]
| operace = [[Sčítání]], [[Násobení]]
| související = [[Celé číslo]], [[Racionální číslo]], [[Reálné číslo]], [[Kardinální číslo]], [[Ordinální číslo]]
}}
'''Přirozené číslo''' je základní matematický pojem, který označuje [[číslo]] používané k určení počtu prvků (kardinality) nebo k určení pořadí (ordinality). Jsou to čísla, se kterými se člověk setkává nejdříve a která tvoří základ pro budování složitějších číselných soustav. Množina všech přirozených čísel se v [[matematika|matematice]] standardně značí symbolem '''ℕ''' (z latinského ''naturalis'', přirozený).

Existují dvě hlavní konvence, jak je množina přirozených čísel definována:
# '''Kladná celá čísla:''' {1, 2, 3, 4, ...}. Tato definice je tradičnější a často se používá v [[teorie čísel|teorii čísel]].
# '''Nezáporná celá čísla:''' {0, 1, 2, 3, ...}. Tato definice, zahrnující i [[nula|nulu]], je preferována v oblastech jako [[teorie množin]], [[matematická logika]] a [[informatika]].

Kvůli této nejednoznačnosti se pro přesnost často používá doplňkové značení, například '''ℕ⁺''' nebo '''ℤ⁺''' pro kladná celá čísla a '''ℕ₀''' pro nezáporná celá čísla.

== 📜 Historie a vývoj pojmu ==
Koncept přirozených čísel je starý jako lidstvo samo. Nejstarší civilizace potřebovaly způsob, jak počítat dobytek, členy kmene nebo dny mezi událostmi. Původně se používaly jednoduché metody, jako jsou zářezy na kostech nebo kamínky. Tyto rané systémy představovaly korespondenci jedna ku jedné mezi počítanými objekty a symboly.

Starověké civilizace jako [[Starověký Egypt|Egypťané]] nebo [[Starověký Řím|Římané]] již měly rozvinuté [[číselná soustava|číselné soustavy]], ale jejich pojetí čísel bylo stále silně vázáno na konkrétní objekty. Dlouhou dobu nebyla [[nula]] považována za číslo, protože nepředstavovala žádný počet. Koncept nuly jako plnohodnotného čísla se objevil až v [[Indie|Indii]] kolem 7. století našeho letopočtu a do [[Evropa|Evropy]] se dostal díky [[Arabové|arabským]] matematikům.

Formální a axiomatická definice přirozených čísel přišla až v 19. století. [[Matematik]]ové jako [[Richard Dedekind]] a [[Giuseppe Peano]] se snažili postavit [[aritmetika|aritmetiku]] na pevné logické základy. Vrcholem tohoto úsilí byly tzv. [[Peanovy axiomy]], které definují přirozená čísla a jejich vlastnosti nezávisle na intuici. Slavný výrok [[Leopold Kronecker|Leopolda Kroneckera]] "Bůh stvořil přirozená čísla, vše ostatní je dílem člověka" ilustruje fundamentální postavení těchto čísel v matematice.

== ➕ Definice a značení ==
Jak bylo zmíněno v úvodu, definice přirozených čísel není zcela jednotná. Rozdíl spočívá v zahrnutí či nezahrnutí nuly.

=== Dvě hlavní konvence ===
*   '''ℕ = {1, 2, 3, ...}''': Množina kladných celých čísel. Tato definice odpovídá intuitivnímu chápání "počítání" věcí, kde se začíná od jedné.
*   '''ℕ = {0, 1, 2, ...}''': Množina nezáporných celých čísel. Tato definice je výhodnější pro formální matematiku, zejména v teorii množin, kde nula odpovídá [[prázdná množina|prázdné množině]] (množině bez prvků).

Pro zamezení nejasností se používá explicitní značení:
*   '''ℕ⁺''', '''ℕ₁''', '''ℤ⁺''': Množina přirozených čísel bez nuly.
*   '''ℕ₀''', '''ℕ⁰''': Množina přirozených čísel s nulou.

V tomto článku, pokud není uvedeno jinak, budeme uvažovat konvenci s nulou (ℕ = {0, 1, 2, ...}).

=== Formální definice ===
Moderní matematika definuje přirozená čísla axiomaticky, aby se předešlo závislosti na neformální intuici.

==== Peanovy axiomy ====
Italský matematik [[Giuseppe Peano]] v roce 1889 formuloval pět axiomů, které definují vlastnosti přirozených čísel. Množina ℕ je množinou přirozených čísel, pokud existuje prvek 0 ∈ ℕ a funkce následníka ''S'' (S(n) = n+1), které splňují:
# 0 je přirozené číslo.
# Každé přirozené číslo ''n'' má svého následníka ''S(n)'', který je také přirozeným číslem.
# Neexistuje žádné přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0. (Nula je první.)
# Různá přirozená čísla mají různé následníky. (Pokud ''S(m) = S(n)'', pak ''m = n''.)
# [[Matematická indukce|Axiom indukce]]: Pokud nějaká vlastnost platí pro 0 a pokud z její platnosti pro ''n'' plyne její platnost i pro následníka ''S(n)'', pak tato vlastnost platí pro všechna přirozená čísla.

==== Konstrukce v teorii množin ====
V [[teorie množin|teorii množin]] se přirozená čísla konstruují pomocí množin. Nejběžnější je [[John von Neumann|von Neumannova]] konstrukce:
*   0 := ∅ (prázdná množina)
*   1 := {0} = {∅}
*   2 := {0, 1} = {∅, {∅}}
*   3 := {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
*   ...
*   n+1 := n ∪ {n}

Každé přirozené číslo je tedy definováno jako množina všech předchozích přirozených čísel. Tato konstrukce elegantně splňuje Peanovy axiomy.

== ⚙️ Vlastnosti přirozených čísel ==
Množina přirozených čísel má řadu klíčových vlastností.

=== Algebraické vlastnosti ===
Pro operace sčítání (+) a násobení (·) na množině ℕ platí:
*   '''Uzavřenost''': Součet i součin dvou přirozených čísel je opět přirozené číslo.
*   '''[[Asociativita]]''': (a + b) + c = a + (b + c) a (a · b) · c = a · (b · c).
*   '''[[Komutativita]]''': a + b = b + a a a · b = b · a.
*   '''[[Distributivita]]''': a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
*   '''Existence [[neutrální prvek|neutrálních prvků]]''': 0 pro sčítání (a + 0 = a) a 1 pro násobení (a · 1 = a).

Struktura (ℕ, +) a (ℕ, ·) tvoří [[komutativní monoid|komutativní monoidy]]. Přirozená čísla však netvoří [[grupa|grupu]], protože neexistují [[inverzní prvek|inverzní prvky]] pro sčítání (např. neexistuje přirozené číslo ''x'' takové, že 5 + x = 0).

=== Vlastnosti uspořádání ===
Přirozená čísla jsou [[uspořádaná množina|lineárně uspořádána]] standardní relací "menší nebo rovno" (≤). Toto uspořádání má navíc klíčovou vlastnost:
*   '''Dobré uspořádání''': Každá neprázdná podmnožina přirozených čísel má nejmenší prvek. Tato vlastnost je ekvivalentní principu matematické indukce.

=== Dělitelnost ===
V teorii čísel je klíčový pojem [[dělitelnost]].
*   [[Prvočíslo]]: Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a samo sebou. (např. 2, 3, 5, 7, 11, ...)
*   [[Složené číslo]]: Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem.
*   [[Základní věta aritmetiky]]: Každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně (až na pořadí činitelů) rozložit na součin prvočísel.

== 🧮 Operace s přirozenými čísly ==
Základní [[binární operace|aritmetické operace]] jsou na přirozených číslech definovány následovně:
*   '''[[Sčítání]]''': Lze definovat rekurzivně pomocí funkce následníka: a + 0 = a; a + S(b) = S(a + b).
*   '''[[Násobení]]''': Lze definovat rekurzivně pomocí sčítání: a · 0 = 0; a · S(b) = a · b + a.

Operace [[odčítání]] a [[dělení]] nejsou na množině přirozených čísel uzavřené. Výsledek a - b je přirozené číslo pouze pokud a ≥ b, a výsledek a / b je přirozené číslo pouze pokud ''b'' je [[dělitel|dělitelem]] ''a''. Potřeba provádět tyto operace bez omezení vedla k zavedení [[celé číslo|celých čísel]] (ℤ) a [[racionální číslo|racionálních čísel]] (ℚ).

== 🌍 Význam a použití ==
Přirozená čísla jsou základním kamenem celé matematiky a mají široké uplatnění.
*   '''Počítání a měření''': Jejich nejzákladnější funkcí je určení počtu prvků v konečné množině.
*   '''[[Kardinální číslo|Kardinalita]] a [[Ordinální číslo|Ordinalita]]''': Slouží jako [[kardinální čísla]] (odpověď na otázku "kolik?") a [[ordinální čísla]] (odpověď na otázku "kolikátý?").
*   '''[[Informatika]]''': V informatice jsou přirozená čísla (obvykle včetně nuly) základem pro datové typy jako ''integer'' nebo ''unsigned integer''. Používají se pro [[indexování]] polí, v [[cyklus (programování)|cyklech]] a pro reprezentaci dat.
*   '''Základy matematiky''': Slouží jako výchozí bod pro konstrukci dalších číselných oborů: celých, racionálních, [[reálné číslo|reálných]] i [[komplexní číslo|komplexních]].

== 🤓 Pro laiky ==
Představte si přirozená čísla jako schody na nekonečném schodišti, které vede pouze nahoru.
*   Jsou to čísla, která používáte každý den k počítání: 1 jablko, 2 auta, 3 kamarádi.
*   Začínají buď jedničkou (když počítáte věci), nebo nulou (když třeba programátor počítá pozice v seznamu, kde první pozice je často označena jako nultá).
*   Na tomto schodišti můžete jít vždy o schod výš (ke každému číslu existuje další, o jedna větší), ale nemůžete jít "mezi schody" (tam by byla desetinná čísla) ani "pod první schod" (tam by byla záporná čísla).
*   Jsou to nejjednodušší a nejzákladnější stavební kameny celé matematiky, podobně jako jsou cihly základem pro stavbu domu.

{{DEFAULTSORT:Prirozene cislo}}
{{Aktualizováno|datum=27.12.2025}}
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Základní matematické pojmy]]
[[Kategorie:Množiny čísel]]
[[Kategorie:Aritmetika]]
[[Kategorie:Vytvořeno Gemini 2.5 Pro]]